知识点4：行程问题

1．行程问题基本公式

S=vt

2．正反比的应用

S一定，v与t互成反比；

v（t）一定，S与t（v）成正比。

3．平均速度

例题1．一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为多少千米/时？（）

A．50 　　　　　　　　　B．48 　　　　　　　　　C．30 　　　　　　　　　D．20

：答案B：套用公式可得，平均速度为2x60x40/（40+60）=48。选B

2．一次相遇

2.1相遇问题的特征

（1）两人（物体）从不同地点出发作相向运动；

（2）在一定时间内，两人（物体）相遇。

与基本的行程问题相比，相遇问题涉及两个或多个运动物体，过程较为复杂。一般借助线段图来理清出发时间、出发地点等基本量，进而利用行程问题核心公式解题：S=（V1+V2）T。

2.1.1同时出发

例题2．两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的车速为12.5米/秒，第二列车的旅客发现第一列车在旁边开过时用了6秒，则第一列车的长度为多少米？（）

A．60米　　　　B．75米　　　　C．80米　　　　D．米

：解析：D．A、B两地的距离为第一列车的长度，那么第一列车的长度为（10+12.5）×6=米。

例题3．甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10点，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程为多少千米？（） 　　　

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 　　 　　

：答案A．解析：题干中给出了两个时间段都是2个小时，最终求的是路程，但是速度是未知的，所以套用基本的计算公式是行不通了，这时候题干中给的两个路程很巧妙都是一样的，从10点到12定两个小时内，不仅走完了之前相距的36千米，还多走了36千米。所以相当于两人在2个小时内的走了72千米，则说明两人从8点到10点走的路程和也是72千米，则AB全程就是72+36=千米。

2.2.2不同时出发

例题4．每天早上李刚定时离家上班，张大爷定时出家门散步，他们每天都相向而行且准时在途中相遇。有一天李刚因有事提早离家出门，所以他比平时早7分钟与张大爷相遇。已知李刚每分钟行70米，张大爷每分钟行40米，那么这一天李刚比平时早出门（）分钟。

A．7　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．11

：答案D．设每天李刚走X分钟，张大爷走Y分钟相遇，李刚今天提前Z分钟离家出门，可列方程为70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故应选择D．

3．多次相遇的定义及核心公式：

（1）直线多次相遇：两人同时相向出发并不停地在两地间往返的过程，在此过程中两人多次相遇。

（2）环线多次相遇：两人同时同地背向出发并不停地绕环线进行的过程中多次相遇。

3.1．直线上两地相向而行的多次相遇问题：

3.2环线上的多次相遇问题

两人同时同地背向而行，每相遇一次走的路程和即为环道的长。

例题5．两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距（）千米

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

：答案D．第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=千米，从B城出发的汽车走了52+44=94千米，故两城间距离为（+96）÷2=千米。

例题6．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？（）

A．10　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．13　　　　　　　　D．40

：答案D。甲、乙要在A点相遇，则甲、乙行走的路程必是的整数倍，而甲乙的速度和是米/分钟，设所需时间为t，则有t必然是的倍数，排除A、B、C三项，选择D。若正面求解：甲走一圈需÷80=5分钟；乙走一圈需÷50=8分钟，取5和8的最小公倍数，即40分钟。

例题7．在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）？

A．24分钟　　　　　　B．26分钟　　　　　　C．28分钟　　　　　　D．30分钟

：答案C．解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。即两人16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14×2=28分钟。

4．追及问题

要点提示：甲，乙同时行走，速度不同，这就产生了“追及问题”。假设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：S=（V1-V2）T核心是“速度差”。

例题8．一列快车长米，每秒行23米，一列慢车长米，每秒行18米。快车从后面追上慢车到超过慢车，共需（）秒钟

A．60　　　　　　　　B．75　　　　　　　　C．50　　　　　　　　D．55

：答案A解析：设需要x秒快车超过慢车，则（23-18）x=+，得出x=60秒。

例题9．甲、乙两地相距千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出15千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米。那么汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？

A．60千米　　　　　　B．50千米　　　　　　C．40千米　　　　　　D．30千米

：答案C解析：汽车和拖拉机的速度比为：（－15－10）=4：3，设追上时经过了t小时，那么汽车速度为4x，拖拉机速度则为3x，则3xt+15=4xt，得xt=15，即汽车经过4xt=60千米追上拖拉机，这时汽车距乙地-60=40千米。

5．流水行船

要点提示：

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）/2

水速=（顺水速度-逆水速度）/2

例题10．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为（）

A．44千米　　　　B．48千米　　　　C．30千米　　　　D．36千米

：答案A解析：顺流速度－逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时，逆流速度=2×水流速度=4千米/时。设甲、丙两港间距离为X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12解得X=44。

知识点5：盈亏问题

1．基本公式

解盈亏问题常常用到比较法。思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数与不足数之和看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，对本题就是栽树的人数。我们有如下的公式：

（盈+亏）÷（每个单位的差）=单位数

（盈一盈）÷（每个单位的差）=单位数

（亏一亏）÷（每个单位的差）=单位数

例题1．若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生（）

A．30人 　　 　　 　　B．34人　　　　　　　　C．40人 　　 　　 　　D．44人

：答案D。解析：每间住4人，剩余20人没地方住；每间住8人，有一间缺4人没住满。我们可以假设这些学生先4人一间，然后再每间加4人，那么第一次剩余的20人可以分配到20÷4=5间，还有一间只有4人，可以很容易得到房间为5+1=6间，那么总人数为6×4+20=44人。通过做这道题目，我们可以进一步总结，第一次分配人到房间是盈，第二次分配人到房间是亏，（盈+亏）÷（分配方法之差）=房间数。

例题2．单位安排职工到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么剩下48个人没有坐；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。听报告的职工有多少人？ 　　

A． 　　 　　 　　　　B．　　　　　　　　C． 　　 　　 　　　　D．

：答案B。解析：每3人坐一条长椅，剩余48人；每5人坐一条长椅，缺10人没地方坐。48+10=58人，58÷（5-3）=29条长椅，则人数=（29-2）×5=人。当然本题还可以直接用人数能被5整除来进行判断，选择B。

例题3．某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，则余下箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，则余下20箱。由此推知该单位共有困难职工（）

A．61人 　　 　　 　　　　B．54人　　　　　　　　C．56人 　　 　　 　　D．48人

：答案A。解析：本题和别的盈亏问题的区别在于，每次的救济品分发的过程中，有一部分人的分配方法和其他人不同。对于这样的问题，我们要做的是首先统一分配方法，即所有人采用相同的分配方法。第一次每人分5箱，余下+12×2=箱，第二次每人分7箱，余下20+30=50箱，-50=箱，÷（7-5）=61人。

知识点6：容斥原理

容斥问题的常见考察方式分为二者容斥和三者容斥，根据题目所给条件总结为如下几个公式。

二者容斥问题公式：全集=A+B+空白-A∩B

三者容斥问题公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=A+B+C+空白-只含两者-2×A∩B∩C=A+B+C+空白-至少包含两者-A∩B∩C

对于公式大家一定要记清楚并能够理解记忆，公式很重要，因为容斥问题的考察中绝大多数题目都是可以直接用公式法求解的，而且只要记住公式就能够很快的解题，下面我们通过几个例题看看具体的题目该怎么求解。

例题1．某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都得满分的有多少人？（）

A．14　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．17　　　　　　　　D．20

：答案A。通过都题目可以发现这是一个二者容斥的问题，要求的是两者的交集，设为X，全集是50，空白区域是17，所以根据公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故选择A答案。

例题2．某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

：答案A。通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含两者的是46，三者的交集是24，空白区域是15，所以列式为：全集=63+89+47+15-46-2×24=，故选择A选项。

例题3．某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人。喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人？（）

A．1　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．7

：答案D。通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的是空白区域，可以设为X，全集为40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含两者的是19，三者的交集是3，根据公式可以列式为：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以选择D选项。

[随堂练习三]

1．一件商品，进货价80元，原定价元，结果打8折出售。问：

（1）实际售价是多少？

（2）实际利润率是多少？

2．一件商品相继两次分别按折扣率为10%和20%进行折扣，已知折扣后的售价为元，那么折扣前的售价为（）。

A．元　　　　　　B．元　　　　　　C．元　　　　　　D．元

3．一种衣物过去每件进价是60元，卖掉后每件的毛利润是40元，现在这种衣物的进价降低，为了促销商家将衣物八折出售，毛利润却比过去增加30%，现在每件进价为多少元？（）

A．36　　　　　　　　B．28　　　　　　　　C．40　　　　　　　　D．4

4．某商品若按原价销售，每件可获利60元；现在降价销售，结果该商品的销售量增加了一倍，获得的总利润增加了0.5倍，则每件商品降价（）。

A．10元　　　　　　B．15元　　　　　　　　C．20元　　　　　　　　D．25元

5．某班共有30人，其中有22人喜欢美术课，25人喜欢体育课，两种课程都喜欢的有18人。问：

（1）不喜欢美术课的有几人？

（2）不喜欢体育课的有几人？

（3）两种课程都不喜欢的有几人？

6．电视台向个人调查昨天收看电视情况，有62人看过一频道，有34人看过六频道，有11人两个频道都看过。问：两个频道都没有看的人有多少人？（）

A．4　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．17　　　　　　　　D．25

7．全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问：仅会打羽毛球的有多少人？（）

A．13　　　　　　　　B．14　　　　　　　　C．15　　　　　　　　D．16

8．对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？（）

A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．9